Uzay Geometri 2 Ders Notları – Konu Anlatımları

2. Uzayda Doğruların Durumları

Uzayda iki doğru için üç durum söz konusudur.

İki doğru uzayda paralel olabilir. İki doğru uzayda kesişebilir. İki doğru uzayda aykırı olabilir.

E düzlemi üzerindeki d2 doğrusu ile E düzlemini kesen d1doğrusunun ortak noktası yoktur.d1 ve d2 doğruları paralel değil ve kesişmiyorlar ise bu doğrulara aykırı doğrular denir.

Aykırı doğrular düzlem belirtmez

Uzayda üç doğru paralel olabilir. Uzayda paralel doğrulardan birine paralel olan bir doğru diğerlerine de paraleldir. Uzayda paralel üç doğru aynı düzlemin elemanı olmak zorunda değildir.

Uzayda paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini kesmeyebilir.

d₁ // d₂ Þ d₁ Ç d₃ = {A}

d₂ Ç d₃ = Ø olur.

Paralel iki doğrunun ikisinide kesen bir doğru birini dik kesiyor ise diğerini de dik keser.

k₁ // k₂ Þ k₁ ^ k₃ ve k₂ ^ k₃ olur.

Uzayda üç doğru düzlemsel veya düzlemsel olmadan bir noktada kesişebilir.

Uzayda ikişer ikişer kesişen üç doğru bir düzlem belirtir. Uzayda bir doğru kesişen iki doğrunun ikisinide kesmeyebilir.

Uzayda kesişen iki doğrunun kesişim kümesi bir noktadır. Uzayda paralel ve aykırı doğruların kesişim kümesi boş kümedir.

3. Uzayda Düzlemlerin Durumları

Bir doğru paralel düzlemlerden birini keserse diğerlerini de keser. Bir doğru paralel düzlemlerden birini dik keserse diğerlerini de dik keser. Bir doğruya dik olan farklı düzlemler paraleldirler. Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir.

Bir düzleme, üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir. Bir düzleme, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan bir tek doğru çizilebilir. Paralel düzlemler kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. Bir düzleme, dışındaki bir noktadan sonsuz tane paralel doğru çizilir. Bu doğrular bir düzlem oluştururlar.0

 paralel düzlemlerinde

Bir düzlem paralel düzlemlerden birini keserse, diğerini de keser. Bir düzlem paralel düzlemlerden birine dik ise diğerine de diktir.

Paralel düzlemleri kesen düzlemlerin arakesit doğruları paraleldir. Bir düzlemin, dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır.

a // b Þ AB // CD

L düzlemi dışındaki M noktasından geçen ve L düzlemine paralel olan bir tek K düzlemi vardır.

Bir düzlemin üzerindeki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem olabilir. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve bu düzleme dik olan birden fazla düzlem çizilebilir. Üç düzlem bir doğru boyunca kesişebilir.

a düzlemi dışındaki P noktasından geçen ve a düzlemine dik olan b ve g düzlemleri gibi çok sayıda düzlem olabilir.

a düzlemi üzerindeki K noktasından geçen ve a düzlemine dik olan sonsuz sayıda düzlem vardır.

a, b, g düzlemleri bir doğru boyunca kesişirse

a Ç b Ç g = d olur.

• n tane düzlem uzayı en az n + 1 bölgeye ayırır.
• Üç düzlem uzayı en az dört, en çok sekiz bölgeye ayırır.

Düzlemlerin uzayı en az bölgeye ayırdığı durum, paralel oldukları durumdur. Üç düzlemin uzayı sekiz bölgeye ayırdığı durumu görmek için bir elmayı üç bıçak darbesi ile nasıl sekize bölebileceğimizi düşünelim.

• UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM TEOREMLERİ

1. Temel Diklik Teoremi

Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna, kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir.

d₁ Î a , d₂ Î a , l Ç d₁ Ç d₂ Ç a = {A} veriliyor.

l ^ d₁ ve l ^ d₂ ise l ^ a olur.

2. Üç Dikme Teoremi

Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan, bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse, iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir.

d Î a , [AB] ^ d ve[AC] ^ a ise l ^ d olur. d doğrusuna dik [AB] nin dik izdüşümünün üzerinde olduğu l doğrusu d doğrusuna diktir.

3. Dik kesişen Düzlemler

Dik kesişen iki düzlemin biri üzerinde bulunan ve kesişim doğrusuna dik olan her doğru diğer düzlemin üzerindeki doğrulara dik durumlu olur.

a ^ b, a Ç b = dd1, d2, d3Î a ve l Î b veriliyor. l ^ d ise l doğrusu d1, d2 ve d3 doğrularına da dik durumlu olur. l ile d1 , l ile d2 , l ile d3 … dik durumludur.

4. Geometrik Yer

Düzlemde iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi, orta dikme doğrusunu oluşturur.Uzayda ise iki noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesi orta dikme düzlemini oluşturur.

Her iki şekilde de, |AO| = |OB| , [AB] ^ [OK] ve |AK| = |BK| olur. K noktası birinci şekilde doğru üzerinde herhangi bir nokta, ikinci şekilde ise a düzlemi üzerinde herhangi bir noktadır.

• DİK İZDÜŞÜM

1. Doğru Parçasının İzdüşümü

[AB] nin, a açısı yaptığı d doğrusu üzerine dik izdüşümü [A'B'] olur.

|A’B'|=|AB|.cosa

2. Düzlem Üzerindeki İzdüşüm

E düzlemi ile a açısı yapan ABCD dörtgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü A’B'C’D’ dörtgenidir.

Paralel doğruların dik izdüşümleri yine paraleldir.

[AB] // [DC] Þ [A'B'] // [D'C']

[AD] // [BC] Þ [A'D'] // [B'C']

Eşit uzuluktaki doğruların dik izdüşümleri yine eşit uzunluktadir.

|AB| = |DC| Þ |A’B'| = |D’C'|

|AD| = |BC| Þ |A’D'| = |B’C'|

Bir düzlemle arasındaki açı a olan bir dörtgenin dik izdüşümünün alanı,

A(A’B'C’D')=A(ABCD). cos a

Bu durum bütün yüzey şekilleri için geçerlidir.

şeklin alanı S, izdüşüm alanı S’ dersek

S’=S.cos a

ÜNİVERSİTEYE YENİ BAŞLAYACAKLARA TAVSİYELER

ÜNİVERSİTEYE YENİ BAŞLAYACAKLARA TAVSİYELER: 
1. Öğrenci işlerindeki kadın size düşman değil.Onun nefreti bütün dünyaya karşı. moralinizi bozmayın ve klimanın tadını çıkarın.
2. ilk hafta ders olmaz, amele gibi gitmeyin.(hadi o tatlı heyecanla gaza gelip gittiniz,hayvanlar gibi ilk geceden bütün okulu facebook arkadaş listenize eklemeyin.)
3. ders programı için panonun önünde toplanan kalabalığın arasında görüp aşık olduğunuz kızın sevgilisi var. baştan uyarıyorum. sonra çok ağlarsınız, demedi demeyin.
4. muhabbete "YGS'de kaç puan yaptın? Bi' alt tercihim su ürünleriydi" şeklinde giren elemanla samimiyetiniz, not almanın ötesine geçmesin. çünkü, o çok sıkıcı biri. dikkat edin.
5. saçı, sakalı uzatıp maymuna dönmeyin.uzayan kıllar, özgürlük sembolü değildir.klişeleşmeyin.
6. kulüpler amele kaynıyor. heyecanlanıp,hepsine girmeyin.
7. john lennon gözlüğü ve şile bezine abanan hatunla muhabbet edecekseniz, mevzuya nietzsche'den, sistemin bizi köleleştirdiğinden ya da hayatın anlamsızlığı gibi ana temalardan girin.
8. siyah tişört üzerine kareli gömlek giyip,düğmeleri açanlar mühendislikte, şile bezigömlek üzerine şal takanlar güzel sanatlarda okuyor. tercihlerinizi buna göre belirleyin.
9. alay ettiğiniz bıyıklı/ favorili kızlar, 1-2 yıla manken gibi olacak. büyük konuşmayın, erken rezervasyondan yararlanın.
10. sığır sürüsü gibi doluşacağınız kantini gözünüzde büyütmeyin. önceleri reina gibigelir, fakat sonra aile çay bahçesine dönüşür,demedi demeyin.
11. "kitabı almak zorunludur" diyen hocalarınızı ciddiye almayın, fotokopiciye gidin.
12. yatay geçiş, %10'luk dilime girip harcınyarısını ödemek gibi saçma sapan hayallere kapılmayın. kötü geçen vizelerden sonra,hepsi yalan olacak. unutmayın.
13. makarna, boş bira şişeleriyle "vize" yazıp etrafında poz verme gibi öğrenci evi geyiklerine gülen kalmadı. bunu yapmayın.

LYS SONUÇLARI AÇIKLANDI !!

LYS SONUÇLARI AÇIKLANDI ! 

Yükseköğretime sınavsız geçiş hakkı bulunan adaylarla Yükseköğretime Geçiş Sınavı (YGS) ve Lisans Yerleştirme Sınavları (LYS) sonuçlarına göre, 2013-ÖSYS yükseköğretim programlarına merkezi yerleştirme sonuçları, ÖSYM'nin internet sayfasından açıklandı.

Adaylar sonuçları ÖSYM'nin ''https://sonuc.osym.gov.tr/'' adresli internet sitelerinden TC kimlik numaraları ve şifreleriyle öğrenebilecek.

ygs sınav yerleri açıklandı.

Arkadaşlar geri sayıma yakın bir zaman kala sınav yerleri açıklandı. "https://ais.osym.gov.tr" sitesinden nnereye sınava gireceğinizi öğrenebilirsiniz. Site yönetimi adına sınava girecek arkadaşlarımıza şimdiden başarılar dileriz.

Geometrik Kavramlar Video Konu Anlatımı

Geometrik Kavramlar Ders notu

GEOMETRİK KAVRAMLAR

Geometride “Nokta”, “Doğru”, “Düzlem” gibi kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.

1. Nokta: “.” biçiminde gösterilir. Boyutu yoktur.

2. Doğru: İki uçtan sınırsız noktalar kümesidir.

3. Düzlem: Her yönde sonsuza giden noktalar kümesidir.

E düzlemi dört yönde de sonsuza kadar gider.

E düzlemi yandaki gibi gösterilir.

4. Doğru Parçası : İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşimidir.

[AB] sembolüyle gösterilir.

[AB] ® AB doğru parçası

|AB| ® AB doğru parçasının uzunluğu

5. Işın : Bir başlangıç noktası olup sonsuza giden noktalar kümesidir.

[AB ® AB ışını

6. Yarı Doğru: [AB ışınından A noktasının çıkarılması ile elde edilen kümeye AB yarıdoğrusu denir.

]AB sembolüyle gösterilir.

Doğrusal nokta kümelerinin gösterimi

	[AB]: A ve B noktaları dahil.
	[AB[: A noktası dahil, B noktası dahil değil
	]AB[: A ve B noktaları dahil değil

AÇILAR

Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir.

şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır.

[ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, CAB olarak veya A ilegösterilir.[AB ve [AC ışınları açının kenarları,

A noktası açının köşesidir.

Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.

1. Açının Ölçüsü

[AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsüdenir. BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veyam(A) = a olarak gösterilir.

ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.

2. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler

Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır.a.Açının kendisi[AB ve [AC ışınları. b. İç bölge (taralı alan) c. Dış bölge

3. Açı ölçü birimleri

Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında,

360° = 400 G(grad) = 2p (radyan) eşitliği vardır.

Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir.

Derecenin alt birimleri

1° = 60' (dakika)1' = 60" (saniye)1° = 3600" dir. 90° = 89° 59' 60" ve 180° = 179° 59' 60" olur.

4. Ölçülerine göre açılar

a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.

b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir

c. Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.

d. Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.

e. Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.

5. Komşu açılar

Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir.CAD ile DAB komşu açılardır.

6. Açıortay

Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir.[AD, CAB açısının açıortayıdır.Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.

7. Tümler açı

Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir. m(CAD)+m(DAB)=90° a+b=90° a açısının tümlerinin ölçüsü (90° – a) dır.

Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir.

[OA] ^ [OB]m(KOL) = 45°

8. Bütünler açı

Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.

m(DAB)+m(CAD)=180° x+y=180°

x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° – x) dir.

Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.

m(KOL) = 90°

9. Ters Açılar

Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir.

Ters açıların ölçüleri eşittir. m(x)=m(z) ve m(t)=m(y) dir.

10. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar

a. Yöndeş açılar

d1 // d2 ise Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.

m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)

m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)

b. İçters açılar

d1 // d2 isea ile z ve b ile t içters açılarıdır. İçters açıların ölçüleri eşittir. m(a) = m(z); m(b) = m(t)

Dışters açılar

d1 // d2 ise Dışters açıların ölçüleri eşittir. m(c)=m(x)=m(d)=m(y)

d. Karşı durumlu açılar

d1 // d2 ise Karşı durumlu açıların toplamı 180° dır. m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180°

Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.

Paralel doğrular arasında birden fazla kesenin olduğu durumlarda kesişim noktalarından yeni paraleller çizilir.

e. Birden fazla kesenli durumlar

d1 // d2 iseB noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur.

B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180°m(DBC) + z = 180° buradanx + y + z = 360° dir.

f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar

d1 // d2ise a + b + c = x + y olur.Bu tür soruları kırılma noktalarından paralellerçizerek de çözebiliriz.

g. Kolları paralel ve kolları dik açılar

Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.
Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.
Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;a + b = 180° olur.
Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamıa + b = 180° olur.
Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.

Geometrik yer ders notu

1. Geometrik Yer Tanımları

• Düzlemde bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çember belirtir.
• Düzlemde bir doğrudan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri paralel iki doğrudur.
• Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur. (Orta dikme doğrusu)
• Düzlemde paralel iki doğruya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir doğrudur.
• Düzlemde doğrusal olmayan sabit üç noktaya uzaklıkları eşit noktaların geometrik yeri bir noktadır.

2. Düzlemde sabit bir d doğrusu ve d doğrusu üzerinde sabit bir P noktası alınıyor.

d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri için,

P noktasına b cm uzaklıktaki noktaları bulmak için P merkezli b cm yarıçaplı çember çizilir.

d doğrusuna a cm uzaklıktaki noktalar d doğrusuna paralel iki doğrudur.

A, B, C, D noktaları d doğrusuna a cm ve P noktasına b cm uzaklıktadırlar.

3. Üçgen Çizimi

• Bir kenara ait yükseklik h ise, o kenara h kadar uzaklıktan paralel doğru çizilir.
• Bir kenar uzunluğu |AB| kadarsa, A veya B noktasından |AB| yarıçaplı çember çizilir.

a. [AB] ve [BC] kenar uzunluğu ve ha yüksekliği verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarına ha uzaklıktan bir paralel doğru çizersek A köşesi bu doğru üzerinde olmalıdır.

[AB] kenarının uzunluğu bilindiğine göre, A köşesi B merkezli |AB| yarıçaplı çemberin üzerinde olmalıdır. O halde doğru ile çemberin kesiştikleri nokta bu iki şartı sağlayan A noktasıdır.

A noktası B ye ve C ye birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.

b. [BC] kenarı, B açısı ve Va kenarortay uzunluğu verilen ABC üçgeninin çizilebilmesi için,

[BC] kenarının orta noktasından Va yarıçaplı çember çizersek, B açısının kolu ile çemberin kesim noktası A köşesini verir. A ve C birleştirilerek ABC üçgeni çizilir.

4. Bir üçgenin belirli olabilme şartları

Bir üçgenin belirli olabilmesi için, en az biri kenar olmak şartıyla üç elemanı bilinmelidir.

a. İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen üçgenler çizilebilir.

[AB], [BC] vem(ABC) = a sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

b. Üç kenarı bilinen üçgenler.

[AB], [AC] ve [BC] sabit verileriyle bir tek ABC üçgeniçizilebilir.

c. Bir kenarı ve bu kenarın oluşturduğu köşelerdeki açıları bilinen üçgenler.

[AB], m(BAC) = a ve m(ABC) = b sabit verileriyle bir tek ABC üçgeni çizilebilir.

d. İki kenarı ve bu kenarların oluşturduğu açının dışında bir açısı bilinen üçgenler

[AB], [AC] ve m(ABC) = a sabit verileriyle iki farklı ABC üçgeni çizilebilir.Şekildeki ABC üçgeninde de görüldüğü gibi verilerde bir değişiklik yapmaksızın aynı verilerle hem ABC üçgeni hem de ABC’ üçgeni çizilebilir. Buradan a>90° olursa birtek üçgen cizilebilir.